Question

（2006•眉山）如图：∠MON=90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B₁是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB₁C₁D₁．
（1）连续D₁D，求证：∠D₁DA=90°；
（2）连接CC₁，猜一猜，∠C₁CN的度数是多少？并证明你的结论；
（3）在ON上再任取一点B₂，以AB₂为边，在∠MON的内部作正方形AB₂C₂D₂，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断．

Answer

（1）根据已知利用SAS判定△OAB1≌△DAD1，从而得到∠ADD1=∠O=90°；
（2）作C1H⊥ON于H．作C1G⊥CD1于G，那么C1G=CH，只要证得△C1GD1≌△C1B1H，得出C1G=C1H；即可得出三角形CC1H是等腰直角三角形，从而得出∠C1CN的度数．
（3）和（1）（2）均一样，求法和证法都相同．
（1）证明：∵∠D1AD+∠B1AD=90°，∠OAB1+∠B1AD=90°，
∴∠B1AO=∠D1AD，
∵AD1=AB1，AO=AD，
∴△OAB1≌△DAD1，∴∠D1DA=∠O=90°；（D1，D，C在同一条直线上）．

（2）【解析】
猜想∠C1CN=45°．
证明：作C1H⊥ON于H．作C1G⊥CD1于G；
则有C1G=CH．
∵∠C1D1C+∠AD1D=90°，∠C1B1H+∠AB1O=90°
∴∠C1D1C=∠C1B1H，
∵C1D1=B1C1，∠D1C1E=∠C1HB1=90°，
∴△C1GD1≌△C1B1H，
∴C1G=C1H，
又∵CH=C1G，
∴直角三角形CHC1是个等腰直角三角形，
∴∠C1CN=45°．

（3）【解析】
作图；
得∠ADD2=90°（∠ADD2=90°、∠C2CN=45°均可）．