Question

（2004•陕西）李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘（图1），鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树．现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）．
（1）若按圆形设计，利用（图1）画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出网形鱼塘的面积；
（2）若按正方形设计，利用（图2）画出你所设计的正方形鱼塘示意图；
（3）你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？
（4）李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？

Answer

（1）因为四棵大树要在新建圆形鱼塘的边沿上，所以所求的圆是正方形的外接圆，利用90度的圆周角对的弦是直径，连接AC，AC的中点即为圆的圆心，半径是AC，利用勾股定理又可求出AC的长，从而求出圆的面积；
（2）过A、C作两条平行线HE、FG，过B、D作两条平行线HG、EF，使它们的交角为直角即可；
（3）因为斜边为定值的直角三角形以等腰直角三角形面积最大，所以当三角形AHB、AED、DFC、BGC都是等腰直角三角形时，鱼塘面积最大，又因这些三角形的斜边都为a，所以它们全等，即A、B、C、D分别是正方形的四边中点，此时正方形鱼塘的对角线为2a，由此可求出最大的面积；
（4）比较圆形和正方形鱼塘的最大面积即可解决问题．
【解析】
（1）如图1所示，
AC==a，
∴S⊙O=πa2；

（2）如图2所示；

（3）有最大面积；
如图2，由作图知，Rt△ABH，Rt△BGC、Rt△CDF和Rt△AED为四个全等的三角形．因此，只要Rt△ABH的面积最大，就有正方形EFGH的面积最大．然而，Rt△ABH的斜边AB=a为定值，所以，点E在以AB为直径的半圆上，当点E正好落在线段AB的中垂线上时，面积最大（斜边为定值的直角三角形以等腰直角三角形面积最大），其最大面积为a2，从而得正方形EFGH的最大面积为4×a2+a2=2a2；

（4）由图1可知，所设计的圆形鱼塘的面积S圆=πa2＜2a2，所以，我认为李大爷新建鱼塘的最大面积是2a2，它是一个正方形鱼塘．