Question

（2004•济宁）如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D．延长DA交△ABC的外接圆于点F．
（1）求证：FB=FC；
（2）若FA=2，AD=4，求FB的长．

Answer

（1）欲证FB=FC，可证∠FBC=∠FCB．由A、C、B、F四点共圆可知∠FBC=∠CAD，又同弧所对的圆周角相等，则∠FCB=∠FAB，而∠FAB=∠EAD，则∠FCB=∠EAD，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，得∠CAD=∠EAD，故∠FBC=∠FCB；
（2）由（1）知，求FB的长，即可以转化为求FC的长，联系已知条件：告诉FA与AD的长度，即可证△FAC∽△FCD．
（1）证明：∵A、C、B、F四点共圆
∴∠FBC=∠DAC
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
又∵∠FCB=∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB=∠EAD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC；

（2）【解析】
∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC
∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
∵∠AFC=∠CFD，
∴△FAC∽△FCD
∴FA：FC=FC：FD
∴FB2=FC2=FA•FD=2×6=36，
∴FB=6．