Question

（2004•锦州）如图，⊙O与⊙P相交于B、C两点，BC是⊙P的直径，且把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧，A是上的动点（不与B、C重合），连接AB、AC分别交⊙P于D、E两点．
（1）当△ABC是锐角三角形（图①）时，判断△PDE的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图②、图③中画出相应的图形（不要求尺规作图），并按图①标记字母；
（3）在你所画的图形中，（1）的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明．

Answer

（1）因为BC将圆O分成1：2两条弧，那么弧BC的度数就是120°，我们要利用这个度数来求解，连接DC，那么∠BAC=60°，而BC是圆P的直角，那么∠ACD=30°，而∠ACD所对的弧DE，圆P的圆心角∠DPE也正好对着这条弧，因此根据圆周角定理可得出∠DPE=60°，而PD=PE，因此三角形PDE是等边三角形；
（3）结论仍然成立，方法与（1）相同．
【解析】
（1）△PDE是等边三角形，连DC．
∵弦BC把⊙O分成度数的比为1：2的两条弧，
∴的度数为120°，
∴∠BAC=60°
又∵BC为⊙P的直径，∴∠BDC=90°，
又∵∠A=60°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DPE=60°
又∵PD=PE，
∴△PDE是等边三角形；

（2）如图②、图③即为所画图形；

（3）图②和图③中△PDE仍为等边三角形．
证明：如图③，连接BE、DC
∵BC为⊙P的直径，
∴∠BDC=90°
又∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°
又∵四边形DBEC是⊙P的内接四边形，
∴∠DBE=∠DCA=30°，∠DPE=60°
又∵PD=PE，
∴△PDE是等边三角形．