Question

（2004•锦州）某乡薄铁社厂的王师傅要在长25cm，宽18cm的薄铁板上截出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆，他先画了草图，但他在求小圆的半径时遇到了困难，请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径．

Answer

根据题意：要在薄铁板上截出一个最大的圆，需使圆的半径为矩形的宽的一半，即9．根据图示，可得关于大圆与小圆半径的关系，列出关系式，进而可求得小圆半径．此题的关键在于画出关系图，写出关系式．
【解析】
设⊙O，⊙O1与矩形的一边的切点分别为B，C（如图所示）．
连接OB，O1C，OO1，过O1作O1A⊥OB，垂足为A，
由题中条件易知⊙O的直径为18cm，
于是OB=9cm；
设⊙O1的半径为r，则O1C=r．
由∠OBC=∠O1CB=∠O1AB=90°，
得四边形AO1CB是矩形，AB=O1C=r．
又OO1=OB+r=9+r，BC=25-9-r，AO1=BC，
在Rt△OAO1中，OO12=AO2+AO12，
即（9+r）2=（9-r）2+（25-9-r）2，
解这个方程得r1=4，r2=64．
∵64＞18，
∴r=64不合题意，取r=4，
即小圆的半径为4cm；

另【解析】
如图，连接OO1、O1O2、O2O，则△OO1O2是等腰三角形．
作OA⊥O1O2，垂足为A，则O1A=O2A．…2分
∵薄铁板的宽是18cm，
∴大圆的半径是9cm．设小圆的半径为xcm，
则OO1=9+x，O1A=O1O2=（18-x-x）=9-x，OA=25-9-x，
在Rt△OAO1中，OO12=OA2+O1A2，即（9+x）2=（9-x）2+（25-9-x）2．…5分
整理，得x2-68x+256=0．解得x1=4，x2=64．…8分
∵x2=64＞9，不合题意，舍去．∴x=4．
答：两个小圆的半径是4cm．…10分