Question

（2003•天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．

Answer

Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；
延长BC交⊙C于点F，根据割线定理，得BE•BF=BD•BA，由此可求出BD的长，进而可求得AD的长．
【解析】
法1：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；
根据勾股定理，得AB=5．
延长BC交⊙C于点F，则有：
EC=CF=AC=3（⊙C的半径），
BE=BC-EC=1，BF=BC+CF=7；
由割线定理得，BE•BF=BD•BA，
于是BD=；
所以AD=AB-BD=；
法2：过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，

由垂径定理可得M为AD的中点，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，
解得：AM=，
∴AD=2AM=．