Question

（2002•昆明）某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元；设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量X的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用；
（3）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少（精确到元）．
参考资料：①当矩形的长是宽与（长+宽）的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形；②≈2.236．

Answer

（1）有矩形的周长，那么可根据周长表示出矩形的另一边长，然后用矩形的面积公式即可得出S与x之间的函数关系式．
（2）可根据（1）得出的函数的性质来确定设计费最多的方案．
（3）本题的关键是求出矩形两边的长，那么可根据题中给出的黄金矩形的计算公式以及矩形的周长来联立方程组，从而得出设计成黄金矩形时，矩形的长和宽，进而求出矩形的面积，根据每平米的设计费，就能求出此时获得的设计费．
【解析】
（1）S与x之间的函数关系式为S=x（6-x）=-x2+6x，（0＜x＜6）．

（2）S=-x2+6x=-（x-3）2+9．
即：矩形广告牌设计为边长3米的正方形时，矩形的面积最大．为9平方米；
此时可获得最多设计费，为9×1000=9000（元）．

（3）设此黄金矩形的长为x米，宽为y米．则由题意可知：

解得：（x=-3-3不合题意，舍去）
即：当把矩形的长设计为（3-3）米时．此矩形将成为黄金矩形．
此时S=xy=（3-3）（9-3）=36（-2）
可获得的设计费为36（-2）×1000≈8496元．