Question

（2002•天津）若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为：S₃、S₄、S₆，则S₃、S₄、S₆由大到小的排列顺序是    ．

Answer

先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据三角形、正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可．
【解析】
设正六边形的边长为a，如图所示，
则△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为，
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD===a，
∴S3=S△ABC=BC•AD=×2a×a=a2．≈1.73a2．
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=，
∴S4=S□ABCD=AB2=×=a2．≈2.25a2．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC==60°，
∴∠BOG=30°，OG===．
∴S△BOC=××a=a2，
∴S6=6S△BOC=6×a2=a2≈2.598a2．
∵2.598a2＞2.25a2＞1.73a2．
∴S6＞S4＞S3．