Question

（2002•广元）如图，点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于点E．
①求证：IE=BE；
②线段IE是哪两条线段的比例中项，试加以证明．

Answer

①连接BI，证∠BIE=∠IBE即可；∠IBE=∠4+∠5，∠BIE=∠2+∠3；观察上述两个式子：I是△ABC的内心，则∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BIE=∠IBE，由此得证；
②由①知：IE=BE，即证BE是哪两条线段的比例中项，可通过找以BE为公共边的相似三角形；由①证得∠5=∠2，易证得△BDE∽△ABE，由此可得出所求的结论．
①证明：连接BI．
∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4；
∵∠BIE=∠3+∠2，∠EBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，
∴∠BIE=∠EBI；
∴IE=BE；

②【解析】
考虑有公共边公共角的相似三角形及IE=BE，知：IE是DE和AE的比例中项．
证明如下：
∵∠5=∠1，∠1=∠2；
∴∠5=∠2；
又∵∠E=∠E，
∴△BED∽△AEB；
∴BE：DE=AE：BE；
∴BE2=AE•DE；
又∵IE=BE，
∴IE2=AE•DE．