Question

（2002•陕西）阅读下面短文：
如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）
解答问题：
（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S₁、S₂，则S₁______S₂（填“＞”“=”或“＜”）．
（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画______个，利用图③把它画出来．
（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，利用图④把它画出来．
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？

Answer

（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等．
（2）可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一种情况．
（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况．
（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可．
【解析】
（1）=
（2）1
（3）3
（4）以AB为边长的矩形周长最小，
设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，
∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．
∵L1-L2=2（a-b）而a-b＞0，ab-s＞0，ab＞0
∴L1-L2＞0，
∴L1＞L2，同理可得L2＞L3
∴以AB为边长的矩形周长最小．