Question

（2002•潍坊）已知x₁、x₂是抛物线y=x²-2（m-1）x+m²-7与x轴的两个交点的横坐标，且x₁²+x₂²=10．
求：（1）x₁、x₂的值；
（2）抛物线的顶点坐标．

Answer

（1）由题意x1、x2是抛物线y=x2-2（m-1）x+m2-7与x轴的两个交点的横坐标，根据根与系数的关系，写出两根之积与两根之和，再根据x12+x22=10，求出m的值，从而求出x1、x2的值；
（2）由（1）求出函数的解析式，然后再根据函数的顶点坐标公式来求解．
【解析】
（1）抛物线y=x2-2（m-1）x+m2-7与x轴有两个交点，
∴当x2-2（m-1）x+m2-7=0时，由根与系数的关系得
则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2m2-8m+18
因为x12+x22=10，
所以2m2-8m+18=10，即x2-4x+4=0，
解之得m=2，
将m=2代入x2-2（m-1）x+m2-7=0得方程x2-2x-3=0，
解这个方程得x1=-1，x2=3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）因为x1，x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，
所以抛物线的对称轴为x=1，
将x=1代入抛物线y=x2-2x-3，得y=-4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，-4）．