Question

（2002•聊城）如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是上一动点，连接PB分别交AD、AC于点E，F．
（1）当=时，求证：AE=BE；
（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论．

Answer

（1）连接AB，由圆周角定理知：AB⊥AC，在Rt△ABC中，AD⊥BC，易证得∠BAD=∠C，已知=，可得∠ABE=∠C，所以∠ABE=∠BAD，即AE=BE；
（2）当AF=EF时，∠FAE=∠FEA，易得∠FAE=∠ABD，∠FEA=∠DEB，因此∠BED=∠ABD，那么它们的余角也相等，
即∠FBC=∠BAD，由（1）知∠BAD=∠C，即∠FBC=∠C，那么弧PC=弧AB，因此当弧PC=弧AB时，AF=EF．
（1）证明：连接AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴AB⊥AC．
又∵AD⊥BC，
∵∠BAD+∠DAC=90°∠C+∠DAC=90°
∴∠BAD=∠C．
∵=，
∴∠ABE=∠C．
∴∠ABE=∠BAD．
∴AE=BE．

（2）当弧PC=弧AB时，AF=EF．
证明：∵弧PC=弧AB，
∴∠PBC=∠C．
∴90°-∠PBC=90°-∠C．
即∠BED=∠DAC，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠DAC=∠AEF．
∴AF=EF．