Question

（2002•海淀区）已知：二次函数y=x²-kx+k+4的图象与y轴交于点C，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．若A、B两点的横坐标为整数，
（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；
（2）若点D的坐标是（0，6），点P（t，0）是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合．设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长．再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）．

Answer

（1）令y=0，不难得出方程的△＞0；关键是方程的整数根，整除和奇偶性问题．根据（k-2+m）（k-2-m）=20得出k-2+m是k-2-m是同奇、同偶的两数是解题的关键．
（由于k-2+m+k-2-m=2k-4，因此两数的和为偶数，而偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，因此两数必须为同奇同偶）
（本题也可用韦达定理来求）
（2）由于四边形PBCD不一定是规则的四边形，因此可用三角形OBC的面积-三角形ODP的面积来求．
（3）本题答案不唯一，只要正确都行．
【解析】
（1）依题意可设A（a，0），B（b，0）；
令y=0，则a、b是x2-kx+k+4=0的两根．
于是△=（-k）2-4（k+4）=k2-4k-16=（k-2）2-20＞0，且a+b=k；
∵a、b是不等的正整数，
∴k为正整数，且（k-2）2-20是一个整数的平方．
设（k-2）2-m2=20，
即（k-2+m）（k-2-m）=20，
注意到k-2+m是k-2-m是同奇、同偶的两数，且20是偶数．
∴；，
；，
解得：；；；，
∴k=8，
∴这个二次函数的解析式为y=x2-8x+12，其顶点坐标为（4，-4）．

（2）∵y=x2-8x+12，
∴此二次函数的图形与y轴的交点C的坐标为（0，12），与y轴的交点A（2，0），B（6，0）．
又S四边形PBCD=S△COB-S△DOP，
∴S=×12×6-×6t，
∴S=36-3t（2≤t＜6）；

（3）∵AB=4，又S=30，
∴可设所画三角形为△MAB，AB边上的高为h．
∴S△MAB=×4×h，
∴h=15．