Question

（2002•海淀区）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点．
（1）求证：CD与⊙O相切于点E；
（2）若CE•DE=，AD=3，求⊙O的直径及∠AED的正切值．

Answer

（1）由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠OED=90°即可．
（2）欲求圆的直径，必须求出半径OA或OB或OE，可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来考虑，借助于比例线段来求解．∠AED的正切值则必须求出AD以及ED的值．
（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠EAD．
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE．
∴∠OEA=∠EAD．
∴OE∥AD．
∵∠OED=∠ADC=90°且E在⊙O上，
∴CD与⊙O相切于点E．

（2）【解析】
连接BE、EF，
∵AB为直径，
∴RT△BAE∽RT△EAD．
∴①
∵CD与⊙O相切于点E，
∴∠CEB=∠OAE．
∵∠C为公共角，
∴△CBE∽△CEA．
∴②
由①②得
，
∴DE•EC=AD•CB．
∵CE•DE=，AD=3，
∴．
由（1）知OE∥AD
∴．
设OE=x（x＞0），
则CO=，CA=，
∴．
∴x=-1（舍去）或x=．
∴⊙O直径为．
∴CA=CB+BA=5．
由切割线定理知CE2=CB•CA=，
∴．
∴．
∴tan∠AED=．