Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x²﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

（1）求点C的坐标．

（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．

（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）C（0，12）。

（2）。

（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，

点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。

【解析】

试题分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长，证△AOC∽△COB，推出OC2=OA•OB，即可得出答案。

解x2﹣25x+144=0得x=9或x=16，

∵OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），

∴OA=9，OB=16。

在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°，

在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°，

∴∠ACO=∠CBA。

∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB。∴OC2=OA•OB。∴OC=12，

∴C（0，12）。

（2）应用相似三角形求得点D 的坐标，应用待定系数法即可求得直线AD的解析式。

在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20。

∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°。

又∵AD平分∠CAB，AD=AD，∴△ACD≌△AED。∴AE=AC=15。

∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10。

∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BAC。

∴，即，解得。

∴D（6，）。

设直线AD的解析式是y=kx+b，

将A（﹣9，0）和D（6，）代入得：

，解得。

∴直线AD的解析式是：。

（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形。

① 以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个，

BQ=CQ=BC=10，

∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO，

∴△BQF∽△BOC。∴。

∵BQ=10，OB=16，BC=20，∴BF=。

∴OF=16﹣=。∴F（，0）。

∵OC=12，OB=16，Q为BC中点，∴Q（8，6）。

设直线QF的解析式是y=ax+c，

代入得：，解得。

∴直线FQ的解析式是：。

设M的坐标是（x，），

根据CM=BM和勾股定理得：（x﹣0）2+（﹣12）2=（x﹣16）2+（﹣0）2，

解得x1=14，x2=2。

∴M的坐标是（14，14），（2，﹣2）。

②以BC为一边时，过B作BM3⊥BC，且BM3=BC=20，过M3Q⊥OB于Q，还有一点M4，CM4=BC=20，CM4⊥BC，

则∠COB=∠M3B=∠CBM3=90°。

∴∠BCO+∠CBO=90°，

∠CBO+∠M3BQ=90°。

∴∠BCO=∠M3BQ。

∵在△BCO和△M3BQ中，

，

∴△BCO≌△M3BQ（AAS）。

∴BQ=CO=12，QM3=OB=16，

OQ=16+12=28，

∴M3的坐标是（28，16）。

同法可求出CT=OB=16，M4T=OC=12，OT=16﹣12=4，

∴M4的坐标是（﹣12，﹣4）。

综上所述，存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，

点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。