Question

正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

 

Answer

【解析】
（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，

则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE。

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°。

又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG。

在△AOE和△OBG中，

∵∠AOE=∠OBG，∠AEO=∠OGB=90°，OA=OB，

∴△AOE≌△OBG（AAS）。∴OG=AE，OE=BG。

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，

∴AF﹣OE=OE﹣BF。∴AF+BF=2OE。

（2）图2结论：AF﹣BF=2OE；图3结论：AF﹣BF=2OE。

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，

则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE。

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°。

又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG。

在△AOE和△OBG中，∵∠AOE=∠OBG，∠AEO=∠OGB=90°，OA=OB，

∴△AOE≌△OBG（AAS）。∴OG=AE，OE=BG。

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，

∴AF﹣OE=OE+BF。∴AF﹣BF=2OE。

若选图3，其证明方法同上。

【解析】

试题分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证。

（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证。