Question

已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边上时，如图1所示，易证MF+FN=BE

（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．

（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）

Answer

（1）不成立。猜想：FN﹣MF=BE。理由见解析

（2）MF﹣FN=BE。

【解析】

试题分析：（1）对结论作出否定，猜想FN﹣MF=BE，连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN=AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，结合MN=FN﹣MF，于是证明出猜想。

（1）不成立。猜想：FN﹣MF=BE。理由如下：

如图，连接AD，.

∵M、N分别是DE、AE的中点，∴MN=AD。

∵在△ACD与△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）。∴AD=BE。

∵MN=FN﹣MF，∴FN﹣MF=BE。

（2）结论：MF﹣FN=BE，证明如下：

连接AD，

∵M、N分别是DE、AE的中点，∴MN=AD。

∵在△ACD与△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）。∴AD=BE。∴MN=BE。

∵MN=FM﹣FN，∴MF﹣FN=BE。