Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），且﹣2＜x₁＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：

①abc＜0；②b²＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．

则其中正确结论的序号是

A．①②         B．②③        C．①②④        D．①②③④

Answer

C。

【考点】二次函数图象与系数的关系，一元二次方程的判别式和根与系数的关系，不等式的性质

【解析】

试题分析：作出示意图如图，

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，

∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，则x=＞0，

∴b＞0。∴abc＜0。所以①正确。

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac。所以②正确。

当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，∴2a+b+=0。

∵0＜c＜2，∴2a+b+1＞0。所以③错误。

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），

∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2。∴2x1=，即x1=。

∵﹣2＜x1＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1。

∵a＜0，∴﹣4a＞c＞﹣2a。∴2a+c＞0。所以④正确。

综上所述，正确结论的序号是①②④。故选C。