Question

如图所示，AB是半圆O的直径，AB=8，以AB为一直角边的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC与半圆交于点D，过点D作BC的垂线DE，垂足为E．

（1）求DE的长；

（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，求 的值．

Answer

【解析】
（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°。

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，AB=8，∴BD=AB=4。

在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=30°，BD=4，∴DE=BD=2。

（2）∵DE⊥BC，AB⊥BC，∴DE∥AB。∴△CDE∽△CAB。

∴。∴CA=4CD。∴DA=3CD。

∵CF∥AB，∴∠FCD=∠BAD，∠DFC=∠DBA。∴△FCD∽△BAD。

∴。

【解析】

试题分析：（1）先由圆周角定理得出∠ADB=90°，再解Rt△ABD，得出BD=4，然后解Rt△BDE，即可求出DE的长；

（2）先由DE⊥BC，AB⊥BC，得出DE∥AB，从而△CDE∽△CAB，得出，则DA=3CD，再证明△FCD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值。