Question

如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；

（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer

（1）。C（6，0）。

（2）OE=2。

（3）存在满足条件的t．理由见解析

（4）当t=时，S取得最大值，最大值为1。

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，令y=0解方程，求出点C的坐标。

（2）如答图1，由△CEF∽△COA，根据比例式列方程求出OE的长度。

（3）如答图2，若△DMN是等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论。

（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3，由S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK求出S关于t的表达式，然后由二次函数的性质求出其最值。

【解析】
（1）∵抛物线经过点A（0，3），B（2，3），

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为：。

令y=0，即，解得x=6或x=﹣4。

∵点C位于x轴正半轴上，∴C（6，0）。

（2）当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，如答图所示：

设OE=x，则EF=x，CE=OC﹣OE=6﹣x．

∵EF∥OA，∴△CEF∽△COA。

∴，即。

解得x=2．∴OE=2。

（3）存在满足条件的t．理由如下：

如答图，

易证△CEM∽△COA，

∴，即，得。

过点M作MH⊥DN于点H，

则DH=ME=，MH=DE=2。

易证△MNH∽△COA，∴，即，得NH=1。

∴DN=DH+HN=。

在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=。

当△DMN是等腰三角形时：

①若DN=MN，则=，解得t=。

②若DM=MN，则DM2=MN2，即22+（）2=（）2，解得t=2或t=6（不合题意，舍去）。

③若DM=DN，则DM2=DN2，即22+（）2=（）2，解得t=1。

综上所述，当t=1、2或时，△DMN是等腰三角形。

（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图，

设EF、DG分别与AC交于点M、N，

由（3）可知：ME=，DN=．

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将点B（2，3）、C（6，0）代入得：

，解得。

∴直线BC的解析式为。

设直线BC与EF交于点K，

∵xK=t+2，∴。

∴。

设直线BC与GF交于点J，

∵yJ=2，∴2= ，得。

∴FJ=xF﹣xJ=t+2﹣=t﹣。

∴S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK=DE2﹣（ME+DN）•DE﹣FK•FJ

=22﹣ [（2﹣t）+（3﹣t）]×2﹣（t﹣1）（t﹣）．

过点G作GH⊥y轴于点H，交AC于点I，则HI=2，HJ=，

∴t的取值范围是：2＜t＜。

∴S与t的函数关系式为：S（2＜t＜）。

S，

∵＜0，且2＜＜，∴当t=时，S取得最大值，最大值为1。