Question

如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．

（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；

（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．

Answer

（1）EF=BE+DF。证明见解析

（2）AM=AB。

（3）AM=AB。证明见解析

【解析】

试题分析：（1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，证△EAQ≌△EAF，

推出EF=BQ即可。

（2）∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，∴×BQ×AB=×FE×AM。∴AM=AB。

（3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，

∠BAC=∠DAC=∠BAD，证得△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，从而证得△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可。

【解析】
（1）EF=BE+DF。证明如下：

如答图，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°。

在△ADF和△ABQ中，

∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF，

∴△ABQ≌△ADF（SAS）。

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF。

∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°。

∴∠BAE+∠BAQ=45°，即∠EAQ=∠EAF。

在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，

∴△EAQ≌△EAF（SAS）。∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF。

（2）AM=AB。

（3）AM=AB。证明如下：

如答图，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵折叠后B和D重合，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，

∠BAC=∠DAC=∠BAD。

在△ADF和△ABQ中，

∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF，

∴△ADF≌△ABQ（SAS）。∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF。

∵∠FAE=∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，即∠EAQ=∠FAE。

在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，

∴△EAQ≌△EAF（SAS）。∴EF=BQ。

∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，∴×BQ×AB=×FE×AM。

∴AM=AB。