Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．

Answer

（1）见解析    （2）

【解析】

试题分析：（1）连接OC，易证得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE=∠OBE=90°，证得BE与⊙O相切。

（2）设OC=x，则OD=OF﹣DF=x﹣1，易求得OC的长，即可得∠BOC=120°，由S=S四边形OBFC﹣S扇形OBC求得答案。

【解析】
（1）证明：连接OC，

∵CE是⊙O的切线，OB=OC，OD⊥BC，∴∠EOC=∠EOB。

∵在△EOC和△EOB中，OB=OC，∠EOC=∠EOB，OE=OE，

∴△COE≌△BOE（SAS），∴∠OCE=∠OBE=90°。

∴OB⊥BE。∴BE与⊙O相切。

（2）∵OD⊥BC，∴CD=BC=×2=。

设OC=x，则OD=OF﹣DF=x﹣1，

在Rt△OCD中，OC2=OD2+CD2，

∴x2=（x﹣1）2+（）2，解得：x=2。

∴OC=2，∠COD=60°，∴∠BOC=120°。

∴CE=OC•tan60°=2。

∴S=S四边形OBFC﹣S扇形OBC=2S△OCE﹣S扇形OBC=。