Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．

①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；

②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

Answer

（1）。

（2）D（4，）。

（3）①四边形OAEB是平行四边形。理由如见解析

②线段BM的长为或。

【解析】

试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式。

（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D的坐标。

（3）①由BE与OA平行且相等，可判定四边形OAEB为平行四边形。

②点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论：

∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）。

过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=。

在Rt△BNF中，由勾股定理得：。

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF。

（I）当点M位于点B右侧时．

在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：。

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG。

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF。

又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF。

∴，即。

∴BM=。

（II）当点M位于点B左侧时，

设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，

∴KF=OB=FB=。∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF。

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK。∴MK=KF=。

∴BM=MK+BK=+1=。

综上所述，线段BM的长为或。