Question

（1）问题探究

数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明．

如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=BC，求证∠BAC=90°．

同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路：

思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…

思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识…

思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识…

思路四…

请选择一种方法写出完整的证明过程；

（2）结论应用

李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题：

①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙O的切线；

②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．

Answer

（1）问题研究，证明见解析

（2）①证明见解析

②。

【解析】

试题分析：（1）应用思路一：根据条件可以得出BM=CM=MA，由等腰三角形的性质就可以得出∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形内角和定理就可以求出结论。

（2）①连接OD，CD，由圆的性质就可以得出AO=OD=OC=a，再由条件就可以得出△ODC是等边三角形，由外角与内角的关系就可以求出∠BDC=30°，从而得出∠ODB=90°而得出结论。

②运用（1）的结论可以得出∠ADB=∠ACE=90°，从而有△ADB∽△AEC，由相似的性质可以得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比平方，最后由锐角三角形函数值就可以求出结论。

【解析】
（1）问题研究，应用思路一：

∵M为BC的中点，∴BM=CM=BC。

∵MA=BC，∴BM=CM=MA。

∴∠1=∠B，∠2=∠C。

∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°，∴2∠1+2∠2=180°。

∴∠1+∠2=90°，即∠BAC=90°。

（2）①证明：连接OD，CD，

∵∠DAB=30°，OA=a，

∴AO=OD=OC=a，∠BOD=2∠A=60°。

∴△ODC是等边三角形。

∴CD=OC=a，∠DCO=∠CDO=60°。

∵OB=2a，∴BC=a。∴BC=DC。∴∠B=∠BDC。

∴2∠BDC=60°。∴∠BDC=30°。∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°。

∵OD是⊙O的半径，∴直线BD是⊙O的切线。

②∵M为BC的中点，BD⊥AC于D，∴DM=BC。

∵EM=DM，∴EM=BC。∴∠BEC=90°。∴∠ADB=∠ACE=90°。

∵∠A=∠A，∴△ADB∽△AEC。

∴。∴。

∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC。∴。

∵cos∠A=，且∠A=60°，∴。∴。

∴△ADE与△ABC面积的比值为。