Question

如图，直线分别与x、y轴交于点B、C，点A（﹣2，0），P是直线BC上的动点．

（1）求∠ABC的大小；

（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；

（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．

Answer

（1）60°

（2）点P坐标为（0，），（1，）

（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个。理由见解析

【解析】

试题分析：（1）求得B、C的坐标，在直角△BOC中，利用三角函数即可求解。

（2）取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆⊙Q，⊙Q与直线BC的两个交点，即为所求；

（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个，如答图2所示。

【解析】
（1）在中，令x=0，得y=；令y=0，得x=2。

∴C（0，），B（2，0）。∴OC=，OB=2。

∴。∴∠ABC=60°。

（2）如答图1，连接AC，

由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4。

又∵AB=4，∴AB=BC。

∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4。

取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆，与直线BC交于点P1，P2。

∵QP1=2，QO=2，

∴点P1与点C重合，且⊙Q经过点O。

∴P1（0，）。

∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ为等边三角形。

∴在⊙Q中，AO所对的圆心角∠OQA=60°。

由圆周角定理可知，AO所对的圆周角∠APO=30°，故点P1、P2符合条件。

∵QC=QP2，∠ACB=60°，∴△P2QC为等边三角形。∴P2C=QP=2。∴点P2为BC的中点。

∵B（2，0），C（0，），∴P2（1，）。

综上所述，符合条件的点P坐标为（0，），（1，）。

（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个。如答图2所示，

以AO为弦，AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个，记为⊙Q，⊙Q′，点Q，Q′关于x轴对称。

∵直线BC与⊙Q，⊙Q′的公共点P都满足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°，

∴点P的个数情况如下：

①有1个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切；

②有2个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相交；

③有3个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切，同时与⊙Q（或⊙Q′）相交；直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点，同时与两圆都相交；

④有4个：直线BC同时与两圆都相交，且不过两圆的交点