Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．

（1）求证：CG是⊙O的切线．

（2）求证：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

Answer

（1）连接OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论。

（2）连接AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF。

（3）2

【解析】

分析：（1）连接OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论。

（2）连接AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF。

（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可。

【解析】
（1）证明：如图，连接OC，

 ∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE。

∵CG∥AE，∴CG⊥OC。

∵OC是⊙O的半径，∴CG是⊙O的切线。

（2）证明：连接AC、BC，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∴∠2+∠BCD=90°。

∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°。∴∠B=∠2。

∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B。

∴∠1=∠2。∴AF=CF。

（3）在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，∴DF=AF=1。

∴AD=DF=。

∵AF∥CG，∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2。

∴AG=2。