Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．

Answer

连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH=AC，HE=FG=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可。

【解析】

分析：连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH=AC，HE=FG=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可。

证明：如图，连接AC、BD，

∵AD∥BC，AB=CD，∴AC=BD。

∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，

∴在△ABC中，EF=AC；在△ADC中，GH=AC，

∴EF=GH=AC。

同理可得，HE=FG=BD。∴EF=FG=GH=HE。

∴四边形EFGH为菱形，