Question

如图①，若二次函数的图象与ｘ轴交于点A（－2,0）,B（3,0）两点，点A关于正比例函数的图象的对称点为C。

（1）求b、c的值；

（2）证明：点C 在所求的二次函数的图象上；

（3）如图②，过点B作DB⊥ｘ轴交正比例函数的图象于点D，连结AC，交正比例函数的图象于点E，连结AD、CD。如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个到达终点时，另一个随之停止运动，连结PQ、QE、PE，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）。

（2）利用轴对称和锐角三角函数求出点C的坐标，代入验证即可。

（3）存在时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC。

【解析】

分析：（1）将A（－2,0）,B（3,0）两点坐标 代入，即可求出b、c的值。

（2）利用轴对称和锐角三角函数求出点C的坐标，代入验证即可。

（3）通过证明△PAE∽△ECQ，求出时间t。

【解析】
（1）∵二次函数的图象与ｘ轴交于点A（－2,0）,B（3,0）两点，

∴，解得。    

∴。

（2）证明：由（1）得二次函数解析式为。

在正比例函数的图象上取一点F，作FH⊥x轴于点H，则

。∴。

连接AC交 的图象于点E，作CK 垂直x轴于点K，

∵点A关于的图象的对称点为C，

∴OE垂直平分AC。

∵，OA=2，

∴。

在Rt△ACK中，∵，

∴。∴。

∴点C 的坐标为。

将C 代入，左边=右边，

∴点C在所求的二次函数的图象上。

（3）∵DB⊥x轴交的图象于点D，B（3,0），

∴把x=3代入得，即BD=。

在Rt△ACK中，，

∵OE垂直平分AC，

∴，。

假设存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，

则。

∵， ∴。

又∵，∴。

又∵，∴△PAE∽△ECQ。∴，即。

整理，得，解得（不合题意，舍去）。

∴存在时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC。