Question

如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AD=4，cos∠ABF= ，求DE的长．

Answer

（1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC。

（2）。

【解析】

分析：（1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC。

（2）连接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的长度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的长度；最后利用DE=AD﹣AE求得结果。

【解析】
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=∠C。

∵∠ABF=∠ABC，∴∠ABC=∠C。

∴AB=AC。

（2）如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，

∵，∴。

∴AB=3。

在Rt△ABE中，∠BAE=90°，

∵，∴。

∴。

∴。