Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．

（1）求证：AC与⊙O相切．

（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．

Answer

（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可。

（2）16π

【解析】

分析：（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可。

（2）证△AEO∽△ACB，得出关于半径r的方程，求出r即可。

【解析】
（1）证明：连接OE，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。

∵BD=BF，∴∠ODE=∠F。

∴∠OED=∠F。∴OE∥BF。

∴∠AEO=∠ACB=90°。

∵OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切。

（2）由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC。

∴。

设⊙O的半径为r，则，解得：r=4。

∴⊙O的面积π×42=16π。