Question

已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．

Answer

（1）见解析    （2）正方形，理由见解析

【解析】

试题分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；

由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．

（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°，

又∵BD=CD，BF=CE，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴∠B=∠C．

故△ABC是等腰三角形；（3分）

（2）【解析】
四边形AFDE是正方形．

证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴四边形AFDE是矩形，

又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴DF=DE，

∴四边形AFDE是正方形．（8分）