Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积 

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使＝，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．

(3)点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：① 的值不变，② 的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．

Answer

（1）点C，D的坐标分别为C（0，2），D(4，2) ，

四边形ABDC的面积S四边形ABDC＝8

（2）在y轴的正负半轴分别存在一点P(0，4)或P(0，－4)

（3）①是正确的结论

【解析】

试题分析：（1）依题意知，将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，故C、D两点点y值为2. 所以点C，D的坐标分别为C（0，2），D(4，2) ，

四边形ABDC的面积S四边形ABDC＝CO×AB=2×4=8

（2）（2）在y轴上是否存在一点P，使S△PAB=S四边形ABDC．理由如下：

设点P到AB的距离为h，

S△PAB=×AB×h=2h，

由S△PAB=S四边形ABDC，得2h=8，

解得h=4，

∴P（0，4）或（0，-4）．

（3）①是正确的结论，过点P作PQ∥CD，

因为AB∥CD，所以PQ∥AB∥CD（平行公理的推论） 

∴∠DCP＝∠CPQ，∵∠BOP＝∠OPQ(两直线平行，内错角相等)，  

∴∠DCP＋∠BOP＝∠CPQ +∠OPQ ＝∠CPO

所以＝=1．

考点：直角坐标系及平行线性质判定