Question

如图，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为(8，0)，点B的坐标为(0，6)，点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E．设四边形BCFE的面积为S₁，四边形CDGF的面积为S₂，△AFG的面积为S₃．

（1）试判断S₁、S₂，的关系，并加以证明；

（2）当S₃：S₁=1：3时，求点F的坐标；

（3）如图，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在直线平移，得到△A’E’F’，且A’、F’两点始终在直线AC上，是否存在这样的点E’，使点E’到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4．若存在，请求出点E’的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）S1=S2；（2）F（4，3）；（3）存在满足条件的E′坐标分别是( 6，) (，)

【解析】

试题分析：（1）两者应该相等，由于四边形ADCB是矩形，那么对角线平分矩形的面积，同理OF也平分矩形AEFG的面积，由此就不难得出S1=S2了；

（2）S3：S2=1；3，也就能得出S△AGF：S△ADC=1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出OF：OC=1：2，即F为OC中点．由此可根据C、D的坐标直接求出F的坐标；

（3）由于A′F′始终在OC上，因此EE′所在的直线必平行于OC，可先求出直线EE′的解析式，然后根据E′横、纵坐标的比例关系来设出E′的坐标，代入直线EE′中即可求出E′A的坐标．

（1）S1=S2

∵FE⊥y轴，FG⊥x轴，∠BAD=90°，

∴四边形AEFG是矩形．

∴AE=GF，EF=AG．

∴S△AEF=S△AFG，

同理S△ABC=S△ACD．

∴S△ABC-S△AEF=S△ACD-S△AFG．

即S1=S2．

（2）∵FG∥CD，

∴△AFG∽△ACD．

∵CD=BA=6，AD=BC=8，

∴FG=3，AG=4．

∴F（4，3）；

（3）∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的，且A′、F′两点始终在直线AC上，

∴点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动．

∵直线AC的解析式是y=x，

∴直线L的解析式是y=x+3．

设点E′为（x，y），

∵点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4，

∴|y|：|x|=5：4．

∴E′（6，7.5）；

∴存在满足条件的E′坐标分别是( 6，) (，)．

考点：动点问题的综合题