Question

抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．

（1）求点B及点D的坐标．

（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．

②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．

Answer

（1）B的坐标为（3，0）   D的坐标为（1，－4）

（2）①点P的坐标为（，）②点M坐标为（）或（5，12）

【解析】【解析】
（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），

∴当y=0时，，解得x=3或x=﹣1。∴点B的坐标为（3，0）。

∵，∴顶点D的坐标为（1，－4）。

（2）①如图，

∵抛物线与y轴交于点C，

∴C点坐标为（0，－3）。

∵对称轴为直线x=1，

∴点E的坐标为（1，0）。

连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），

∴CH=DH=1。

∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°。

∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形。

分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R。

∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，

∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，

∴∠CDB=∠QCO。∴△BCD∽△QOC。∴。

∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）.

∴直线CQ的解析式为。

又直线BD的解析式为，

由方程组解得：。

∴点P的坐标为（，）。

②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时，

若点N在射线CD上，如图，

延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．，

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE。∴。∴MN=2CN。

设CN=a，则MN=2a。

∵∠CDE=∠DCF=45°，

∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形。

∴NF=CN=a，CF=a。∴MF=MN+NF=3a。∴MG=FG=a。

∴CG=FG﹣FC=a。

∴M（a，）。

代入抛物线，解得a=。，

∴M（）。

若点N在射线DC上，如图，

MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，∴。

∴MN=2CN。．

设CN=a，则MN=2a。

∵∠CDE=45°，

∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形。，

∴NF=CN=a，CF=a。

∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a。∴CG=FG+FC=a。∴M（a，）。

代入抛物线，解得a=。

∴M（5，12）。

（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时，

∵∠CMN=∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°。

而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，∴点M不存在。

综上可知，点M坐标为（）或（5，12）。

（1）解方程，求出x=3或﹣1，根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将抛物线写成顶点式，即可确定顶点D的坐标。

（2）①根据抛物线，得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为，直线BD的解析式为，解方程组，即可求出点P的坐标。

②分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时，分点N在射线CD上和点N在射线DC上两种情况讨论；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时，由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在。