Question

矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为　   　．

Answer

2.8。

【解析】由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得对角线AC=BD=5。

依题意画出图形，如图所示。

由轴对称性质可知，

∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°。

∴点A在菱形EFGH的边EF上．同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上。

∵AP=AE=AF，∴点A为EF中点．同理可知，点C为GH中点。

连接AC，交BD于点O，则有AF=CG，且AF∥CG，

∴四边形ACGF为平行四边形。

∴FG=AC=5，即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长。

∴EF=FG=5。

∵AP=AE=AF，∴AP=EF=2.5。

∵OA=AC=2.5，∴AP=AO，即△APO为等腰三角形。

过点A作AN⊥BD交BD于点N，则点N为OP的中点。

由S△ABD=AB?AD=AC?AN，可求得：AN=2.4。

在Rt△AON中，由勾股定理得：，∴OP=2ON=1.4。

同理可求得：OQ=1.4。

∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8。