Question

如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；

（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=（x＞0）（2）OA=  C（5，）（3）P1（，），P2（﹣，），P3（，），P4（﹣，）．

【解析】（1）过点A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB=，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A点坐标为（6，8），根据题意得：

8=，可得：k=48，

∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，

∵sin∠AOB=，

∴AH=a，OH=a，

∴S△AOH=?aa=a2，

∵S△AOF=12，

∴S平行四边形AOBC=24，

∵F为BC的中点，

∴S△OBF=6，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=a，BM=a，

∴S△BMF=BM?FM=a?a=a2，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，

∵点A，F都在y=的图象上，

∴S△AOH=k，

∴a2=6+a2，

∴a=，

∴OA=，

∴AH=，OH=2，

∵S平行四边形AOBC=OB?AH=24，

∴OB=AC=3，

∴C（5，）；

（3）存在三种情况：

当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（，），P2（﹣，），

当∠PAO=90°时，P3（，），

当∠POA=90°时，P4（﹣，）．