Question

如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　 　．

Answer

。

【解析】首先，需要找出点B运动的路径（或轨迹），其次，才是求出路径长。由题意可知，OM=，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，∴ ON=。如图①所示，

设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．

∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC=∠B0ABn。

又∵AB0=AO?tan30°，ABn=AN?tan30°，

∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°。

∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°。

∴B0Bn=ON?tan30°=。

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）：

如图②所示，

当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi。

∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi。

又∵AB0=AO?tan30°，ABi=AP?tan30°，∴AB0：AO=ABi：AP。

∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP。

又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP。

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn。

∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）。

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为。