Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC．

（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并求S的最大值？

（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

Answer

（1） 

（2）。

S的最大值为15。

（3）或

【解析】

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可。

【解析】
∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6。

∴。

∵点Q的速度是1个单位长度/秒，∴OQ=t。∴AQ=OA－OQ=8－t。

∵⊙P的直径为AC，∴∠ADC=90°。

∴，即，解得。

当点Q与点D重合时，AD=AQ，

∴，解得。

∴当时，点Q与点D重合。

（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答。

【解析】
，即，解得。

①点Q、D重合前，即时，，

∴△QCD的面积为。

∵，

∴当t=时，S有最大值为。

②点Q、D重合后，即时，，

∴△QCD的面积为。

∵，∴当时，S随t的增大而增大。

∴当t=5时，S有最大值为：。

综上所述，S与t的函数关系式为。

∵15＞，∴S的最大值为15。

（3）①点Q、D重合前，即时，CQ与⊙P相切时t的值最大，此时，CQ⊥AB，AQ=8－t，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，∴△ACQ∽△AOB。

∴，即，解得t=。

∴⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为。

②点Q、D重合后，即时，⊙P与线段QC只有一个交点。