Question

如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D在抛物线上，直线是一次函数的图象，点O是坐标原点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值.

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）存在一点P（0，2），使直线PM与PN总是关于y轴对称

【解析】【解析】
（1）∵抛物线关于直线x=1对称，AB=4，∴A(－1，0)，B(3，0) 。

∴可设抛物线的解析式为。

∵点D在抛物线上，∴，解得。

∴抛物线的解析式为，即。

（2）由（1）知，令x=0，得C(0, )，

∴CD//AB。

令，得l与CD的交点F()，

令，得l与x轴的交点E()，

由S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE，

即：，解得。

∴当时，直线平分四边形OBDC的面积。

（3）∵，

∴把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为。

假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，

∵∠MPO=∠NPO，∴Rt△MPM1∽Rt△NPN1。

∴    ①。

不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，

因为P点在y轴正半轴上，则①式变为。

又∵，

∴    ②。

把代入中，整理得。

∴，代入②得，解得t=2，符合条件。

∴在y轴上存在一点P（0，2），使直线PM与PN总是关于y轴对称。

（1）由已知求出点A，B的坐标，设出交点式，将点D 的坐标代入即可求得抛物线的解析式。

（2）如图，将S四边形OEFC和S四边形EBDF用k表示，根据S四边形OEFC=S四边形EBDF列方程求解即可。

（3）求出平移后的抛物线解析式，假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，由Rt△MPM1∽Rt△NPN1得，即。把代入中，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系得代入，即可求得t=2。