Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A′处，给出以下判断：

①当四边形A^，CDF为正方形时，EF=

②当EF=时，四边形A′CDF为正方形

③当EF=时，四边形BA′CD为等腰梯形；

④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF=。

其中正确的是       （把所有正确结论序号都填在横线上）。

Answer

①③④。

【解析】根据相关知识逐一作出判断：

①∵AB=1，BC=2，∴如图，

当四边形A′CDF为正方形时，A′C="CD=" A′F=2，A′F⊥BC。

∴A′E=2。∴根据勾股定理得EF=。判断①正确。

②当EF=时，由①知，只要EF与AB成450角即可，此时的EF与①中的EF平行即可，这时，除①的情况外，其它都不构成正方形。判断①错误。

③当EF=时，由勾股定理知BD=，∴此时，EF与BD重合。

由折叠对称和矩形的性质知，CD="AB=" A′B，且CD与 A′B不平行。

如图，

过点A′作A′G⊥BD于点G，过点C作CH⊥BD于点FH，则

∵A′B=CD，∠A′BG=∠ABD=∠CDH，∠A′GB =∠CND，

∴△A′GB≌△CHD（AAS）。∴A′G=CH。∴A′C∥BD。

∴四边形BA′CD为等腰梯形。判断③正确。

④当四边形BA′CD为等腰梯形时，由A′B=CD，∠A′BD=∠CDB=∠ABD，知点A′是点A关于BD的对称点，即A′是点A沿BD折叠得到，所以，EF与BD重合，EF=BD=。判断④正确。

综上所述，判断正确的是①③④。