Question

如图，抛物线与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

Answer

（1）（2）直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是

（－2，3）和（－4，）（3）l有最大值，当x=－3时，l的最大值是15

【解析】【解析】
（1）∵经过点A（2，0）和B（0，）

∴，解得。

∴抛物线的解析式是。

∵直线经过点A（2，0），∴，解得：。

∴直线的解析式是。

（2）存在。

设P的坐标是（x，），则M的坐标是（x，），

∴。

解方程得：或。

∵点D在第三象限，∴点D的坐标是（﹣8，）。

由令x=0得点C的坐标是（0，）。

∴。

∵PM∥y轴，∴要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即。

整理得，解这个方程得：x1=－2，x2=－4，符合﹣8＜x＜2。

当x=－2时，；

当x=－4时，。

∴直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是

（－2，3）和（－4，）。

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=10。

∴△CDE的周长是24。

∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE。

∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE。

∴，即。

化简整理得：l与x的函数关系式是：。

∵＜0，∴l有最大值，当x=－3时，l的最大值是15。

（1）将A，B两点坐标分别代入求出二次函数解析式；将A点坐标代入求出直线解析式。

（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的判定得出PM=CE，得出等式方程求出即可。

（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可。