Question

如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）求证：△ACM∽△DCN；

（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】【解析】
（1）证明：∵△BCO中，BO=CO，∴∠B=∠BCO。

在Rt△BCE中，∠2+∠B=900，∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=900，即∠FCO=90°。

∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线。

（2）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠FCO=900。

∴∠ACB－∠BCO=∠FCO－∠BCO，即∠3=∠1。

∴∠3=∠2。

∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN。

（3）∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，

在Rt△COE中，cos∠BOC=，

∴OE=CO?cos∠BOC=4×=1。∴BE=3，AE=5。

由勾股定理可得：，

。

∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴由垂径定理得：CD=2CE=。

∵点M是CO的中点，∴CM=CO=×4=2

∵△ACM∽△DCN，∴，即。

∴。

（1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=900，即可得出答案；

（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可。

（3）根据已知得出OE的长，从而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可。