Question

已知抛物线经过点A（－1，0），B（3，0），交轴于点C，M为抛物线的顶点，连接MB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）设Q点的坐标为（8，0），将该抛物线绕点Q旋转180°后，点M的对应点为，求的度数．

Answer

（1） （2）P点的坐标为（0，1），（0，3），，

（3）＝135°

【解析】

试题分析：（1）∵因为抛物线经过点A（－1，0），B（3，0）

∴

解得

∴

（2）设点P的坐标为（0，y）,

① 若∠MPB＝90°，过点M作ME ⊥x轴，MF ⊥y轴,

易证R t △PFM ∽ R t △BOP，可得：

解得，∴点P的坐标为（0，1），（0，3）

② 若∠PMB＝90°，同理，R t △PFM ∽ R t △BEM，

∴ 解得： ∴点P的坐标为

③ 若∠MBP＝90°，同理, R t △POB ∽ R t △BEM

∴，解得： ，∴点P的坐标为

综上：△PBM是直角三角形时，P点的坐标为（0，1），（0，3），，

（3）

由题意可知：B（3，0），M(1，4)，Q(8，0)，点M，M′关于点Q中心对称，

∴M′ (15，－4)，

连结M′B，并延长M′B交y轴于点D，

由，可得D（0，1）

连结MD，易证R t △DFM≌R t △DOB

∴△DBM是等腰直角三角形，∠DBM＝45°

∴＝135°

解法二：

过点M′作MB的垂线交MB的延长线于点D，

由△MBM′面积计算，转化为已知△面积和底边MB求高D M′，解得

再由 ，  M’D⊥MD， ∴△DBM′是等腰Rt△，

∴    

∴ ∠M’BD=∠BM’D=45°

∴＝135°

考点：二次函数与几何图形相结合