Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x。

（1）在△ABC中，AB＝               ；

（2）当x＝      时，矩形PMCN的周长是14；

（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。

Answer

（1）10；（2）5；（3）不存在

【解析】

试题分析：（1）仔细分析题意利用勾股定理求解即可；

（2）利用MP∥BC和NP∥AC，可得到，，将AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x

代入式中就能得到PM和PN关于x的表达式．再由矩形周长=2（PM+PN），求出x的值．

（3）当P为AB的中点时，△PAM的面积与△PBN的面积才相等，再求出矩形PMCN的面积，进行判断．

（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，

（2））∵PM⊥AC  PN⊥BC

∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），

∴，

∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，

∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（x+8-x）=14，解得x=5；

（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，

∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.

∴AC∥PN，∠A=∠NPB.

∴△AMP∽△PNB∽△ABC.

当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB

此时S△AMP=S△PNB=×4×3=6

而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.

所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.

考点：相似三角形的判定和性质，矩形的面积公式