Question

如图，在平面直角坐标系中，、为轴上两点，、为一上两点，经过点、、的抛物线的一部分与经过点、的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点的坐标为，点是抛物线的顶点．

（1）求、两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当为直角三角形时，求的值．

Answer

（1）A（-1，0）、B（3，0） （2）S△PBC最大值为．（3）m=-1或m=

【解析】

试题分析：(1)【解析】
令y=0,则   ∵m＜0，∴    

解得： ．

∴A（-1，0）、B（3，0）．

（2）存在．                                                            

∴

设P（n, ）

∴ S四边形BOCP= S△POC + S四边形BOCP -S△BOC =              

∵a=<0, ∴当n=时,S△PBC最大值为．

（3）由C2可知： D（0，-3m）, M(1,-4m) , B(3,0)

BD2=, BM2= , DM2= ,                

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况．

当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，+=

解得：m1=, m1=(舍去)

当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，+=

解得：m1= -1, m1="1" (舍去)

综上 m=-1或m=时，△BDM为直角三角形

考点：抛物线