Question

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点，点P、Q分别从点A、C出发，沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动，到达点C、B后停止。连结PQ、点D是PQ中点，连结CD并延长交AB于点E.

（1）试说明：△POQ是等腰直角三角形；

（2）设点P、Q运动的时间为t秒，试用含t的代数式来表示△CPQ的面积S，并求出

S的最大值；

（3）如图2，点P在运动过程中，连结EP、EQ，问四边形PEQC是什么四边形，并说明理由；

（4）求点D运动的路径长（直接写出结果）.

Answer

角度转换；2；矩形；

【解析】

试题分析：(1)、证明：连接CO，则：CO⊥AB ∠BCO=∠A="45°" CO=AO=1/2AB

在△AOP和△COQ中

AP="CQ" ，∠A=∠BCO，AO="CO"           

∴△AOP≌△COQ   (SAS)

∴OP="OQ"    ∴∠AOP=∠COQ

∴∠POQ=∠COQ+∠COP =∠AOP+∠COP=∠AOC =90°      

∴△ POQ是等腰直角三角形（3分）

(2)、S=CQ×CP =t(4-t) =t²+2t = (t-2)²+2

当t=2时，S取得最大值，最大值S="2" （3分）

(3)、四边形PEQC是矩形

证明：连接OD

∵点D是PQ中点

∴CD=PD=DQ=PQ

OD=PD=DQ=PQ

∴CD="OD"

∴∠DCO=∠DOC

∵∠CEO+∠DCO=90°

∠DOE+∠DOC=90°

∴∠CEO=∠DOE

∴DE=DO

∴DE=CD

∵PD=DQ

∴四边形PEQC是平行四边形

又∠ACB=90° ∴四边形PEQC是矩形（3分）

(4)、由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上，其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段

点D运动的路径长=AB=（3分）

考点：全等三角形的性质和判定