Question

已知抛物线 经过A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值和点P、B的坐标；

（2）如图，在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．

Answer

（1）顶点P的坐标为（4，-2）点B的坐标是（6，0）. （2）存在；D点的坐标为（2,2）（3）可通过证明AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，证明△AMP≌△AMB.

【解析】

试题分析： 【解析】
（1）∵抛物线经过A（2，0），

∴，         

解得，

∴抛物线的解析式为. 

将抛物线配方，得，

∴顶点P的坐标为（4，-2）.          

令y=0，得，解得.

∴点B的坐标是（6，0）.      

（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形.

理由如下：设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得 

解得 

∴直线PB的解析式为.       

又∵直线OD的解析式为，∴直线PB∥OD.

解法一：设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得，解得.

如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.     

设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，

∴        

∴直线BD的解析式为，解方程组得

∴D点的坐标为（2,2）    

解法二：过点P作x轴的垂线，垂足为点C，则PC=2，AC=2，

由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又∵AB=4，∴△APB是等边三角形∠PBA=∠DOB=60°,

设点D的坐标为（，），得=,

∴D点的坐标为（2,2）

（3）符合条件的点M存在.            

验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为点C，则PC=2，AC=2，

由勾股定理，可得AP=4，PB=4，      

又∵AB=4，∴△APB是等边三角形，作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，             

∴△AMP≌△AMB.

因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.            

考点：一次函数与抛物线