Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若EF＝12，EC＝9，求⊙O的半径．

Answer

（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可；

（2）先根据勾股定理求出CF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出⊙O的半径．

（1）连接OD交于AB于点G．

∵D是的中点，OD为半径，

∴AG=BG．

∵AO=OC，

∴OG是△ABC的中位线．

∴OG∥BC，

即OD∥CE．

又∵CE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）在Rt△CEF中，EF＝12，EC＝9

∴CF=15

设半径OC=OD=r，则OF=15-r，

∵OD∥CE，

∴△FOD∽△FCE，

∴，解得

即⊙O的半径为.

考点：切线的判定，相似三角形的判定和性质