Question

如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°

（1）求证：AG=FG;

（2）延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长.

Answer

（1）通过证明AG="BH" ，BH=HF+GH=FG，则AG=FG （2）

【解析】

试题分析：（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点

∵∠CFB=45°

∴CH=HF

∵∠ABG+∠BAG=90°，   ∠FBE+∠ABG=90°

∴∠BAG=∠FBE

∵AG⊥BF     CH⊥BF

∴∠AGB=∠BHC=90°

在△AGB和△BHC中

∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，  AB=BC

∴△AGB≌△BHC

∴AG=BH，  BG=CH

∵BH=BG+GH

∴BH=HF+GH=FG

∴AG=FG

(2) ∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C为FM的中点

∴CH=GM∴BG=GM∵BM=10

∴BG=，  GM=（1分）∴AG=   AB=10

∴HF=   ∴CF=×∴CM=

过B点作BK⊥CM于K

∵CK==，  ∴BK=

过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q

∴△BKC≌△CQD

∴CQ=BK=

DQ=CK=∴QF=－=∴DF==

考点：三角形和正方形