Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．

（1）求AC、BC的长；

（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似？请说明理由；

（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．

Answer

8,6；0＜x≤3；16

【解析】

试题分析： （1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，

∴，

∴QH=x，y=BP?QH=（10﹣x）?x=﹣x2+8x（0＜x≤3），

②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，

∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，

∴，即：，解得：QH′=（14﹣x），

∴y=PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；

∴y与x的函数关系式为：y=；

（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，

∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，

∴，即：，

解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴，

∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；

（4）存在．

理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，

∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，

∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，

∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，

∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小.

考点：二次函数的综合题